Εξαναγκασμένη ταλάντωση και ενέργειες

Στην εξαναγκασμένη ταλάντωση ενός συστήματος ελατηρίου-μάζας η μέγιστη δυναμική ενέργεια ταλάντωσης U_max= ½ mω_ο²A² είναι ίση με την μέγιστη κινητική ενέργεια K_max= ½ mω_δ²Α² μόνο στην περίπτωση που η συχνότητα του διεγέρτη είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα του συστήματος. Πού οφείλεται αυτή η διαφορά;

Στην εξαναγκασμένη ταλάντωση ενός συστήματος ελατηρίου-μάζας ασκούνται οι δυνάμεις:

η ελαστική δύναμη -kx, με k=mω_ο², η δύναμη απόσβεσης και η δύναμη από το διεγέρτη, τη συνισταμένη των οποίων ονομάζω έστω F’.

Έτσι από το 2^ο νόμο του Newton για την κίνηση έχουμε

–kx + F’= mα και επειδή α=–ω_δ²x

 –kx + F’= – mω_δ²x.

F’= -m(ω_δ²-ω₀²)x

Τότε: 

Αν ω_δ>ω_ο τότε F’=–m(ω_δ²–ω_ο²)×x, οπότε:

όταν x>0 τότε F’<0 ενώ όταν x<0 τότε F’>0 

Έστω λοιπόν ότι το σώμα ξεκινά από την ακραία θέση Β, στην οποία έχει μια ορισμένη τιμή δυναμικής ενέργειας U_max και κινείται προς τα αριστερά. Στο σχήμα εμφανίζονται οι δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα.

Το έργο της συνισταμένης (των F_δ και F_απ) F’ είναι θετικό στην κίνηση προς τη Θ.Ι. Ο και αρνητικό προς την ακραία θέση Γ, οπότε η μέγιστη κινητική ενέργεια θα είναι μεγαλύτερη από τη μέγιστη δυναμική ενέργεια κατά το έργο τη F΄.

Δείτε όλη την απόδειξη από εδώ.