Δευτέρα, 29 Ιουλίου 2013

Περί Διανυσματικών Μεγεθών

Μονόμετρο μέγεθος: 
Χαρακτηρίζεται από έναν αριθμό.
Όταν λέμε ότι «το μέγεθος μεταβάλλεται» εννοούμε ότι αυτός ο αριθμός αλλάζει.
Και ένας αριθμός που αλλάζει, μπορεί να μεγαλώνει ή να μικραίνει (να αυξάνεται ή να μειώνεται).
Για παράδειγμα: η θερμοκρασία…
από -1οC γίνεται -2οC, μειώνεται…
από -2οC γίνεται +1oC, αυξάνεται…
από +1oC γίνεται +2oC, αυξάνεται κ.ο.κ.

Διανυσματικό μέγεθος:
Χαρακτηρίζεται από τρία στοιχεία: τη διεύθυνσή του (μια ευθεία), τη φορά του (μια από τις δυο μεριές πάνω στην ευθεία) και το μέτρο του (έναν αριθμό μη αρνητικό).

Το ρήμα «μεταβάλλομαι» και το διανυσματικό μέγεθος:
Όταν λέμε ότι «ένα διανυσματικό μέγεθος μεταβάλλεται» εννοούμε ότι αλλάζει τουλάχιστον ένα από τα στοιχεία που το χαρακτηρίζει:
§  αν αλλάξει η διεύθυνση, με σταθερό ή όχι το μέτρο, το διάνυσμα μεταβάλλεται.
§  αν η διεύθυνση είναι σταθερή και αλλάξει η φορά, με σταθερό ή όχι το μέτρο, ή αλλάξει το μέτρο, με σταθερή τη φορά, το διάνυσμα μεταβάλλεται.

Το ρήμα «αυξάνομαι» («μεγαλώνω») ή «μειώνομαι» («μικραίνω») και το διανυσματικό μέγεθος:
Η διεύθυνση και η φορά του διανύσματος μπορούν να μεταβάλλονται, ναι, αλλά δεν μπορούν να αυξάνονται ή να μειώνονται, να μεγαλώνουν ή να μικραίνουν. Αν θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε τα ρήματα αυτά, έχει νόημα να το κάνουμε ΜΟΝΟ όταν αναφερόμαστε στο μέτρο του διανύσματος.
Ας δούμε τα παρακάτω σχήματα:
Σε ένα σώμα ασκείται μια δύναμη, που αρχικά παριστάνεται από το διάνυσμα F1 και από κάποια στιγμή και μετά από το διάνυσμα F2.
1ο σχήμα: έχει μεταβληθεί η δύναμη; ΝΑΙ, γιατί άλλαξε διεύθυνση και μέτρο.
2ο σχήμα: έχει μεταβληθεί η δύναμη; ΝΑΙ, γιατί άλλαξε φορά και μέτρο.
3ο σχήμα: έχει μεταβληθεί η δύναμη; ΝΑΙ, γιατί άλλαξε μέτρο.

1ο σχήμα: έχει αυξηθεί ή έχει μειωθεί η δύναμη; ΕΧΕΙ ΑΥΞΗΘΕΙ, γιατί αυξήθηκε το μέτρο της.
2ο σχήμα: έχει αυξηθεί ή έχει μειωθεί η δύναμη; ΕΧΕΙ ΑΥΞΗΘΕΙ, γιατί αυξήθηκε το μέτρο της.
3ο σχήμα: έχει αυξηθεί ή έχει μειωθεί η δύναμη; ΕΧΕΙ ΑΥΞΗΘΕΙ, γιατί αυξήθηκε το μέτρο της.

Και στις τρεις περιπτώσεις η δύναμη έχει αυξηθεί γιατί αυξήθηκε το μέτρο της.

Η αλγεβρική τιμή και το διανυσματικό μέγεθος:
Η αλγεβρική τιμή παριστάνει ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΜΕ ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ.

Πάμε πρώτα στο πρώτο σχήμα:
Στην περίπτωση αυτή τα δυο διανύσματα δεν έχουν ίδια διεύθυνση οπότε δε μιλάμε για αλγεβρική τιμή. Λέμε ότι το διάνυσμα της δύναμης έχει μεταβληθεί, γιατί άλλαξε διεύθυνση και μέτρο. Επίσης λέμε ότι η δύναμη έχει αυξηθεί γιατί έχει αυξηθεί το μέτρο της.

Πάμε τώρα στο δεύτερο και το τρίτο σχήμα, όπου τα διανύσματα έχουν ίδια διεύθυνση.
Αφού η διεύθυνση του διανύσματος είναι ίδια, ας κοιτάξουμε τα άλλα δυο στοιχεία του, τη φορά και το μέτρο.

Στο δεύτερο σχήμα η φορά είναι διαφορετική και το μέτρο είναι διαφορετικό.
Έχει μεταβληθεί η δύναμη; ΝΑΙ.
Έχει αυξήθηκε ή έχει μειωθεί η δύναμη; ΕΧΕΙ ΑΥΞΗΘΕΙ, γιατί αυξήθηκε το μέτρο της.

Στο τρίτο σχήμα η φορά είναι η ίδια, αλλά το μέτρο είναι διαφορετικό.
Έχει μεταβληθεί η δύναμη; ΝΑΙ
Έχει αυξήθηκε ή έχει μειωθεί η δύναμη; ΕΧΕΙ ΑΥΞΗΘΕΙ, γιατί αυξήθηκε το μέτρο της.

Πώς αλλιώς μπορούμε να πούμε τα παραπάνω:
Ονομάζουμε άξονα χ’χ την κοινή διεύθυνση των διανυσμάτων και ΑΥΘΑΙΡΕΤΑ ορίζουμε μια θετική φορά, έστω προς τα δεξιά.

Τότε, για να περιγράψουμε τα δύο διανύσματα χρησιμοποιούμε τη λεγόμενη αλγεβρική τιμή, που αποτελείται από δυο μέρη:
§  το πρόσημο + ή - που κατάλληλα επιλέγουμε για να δηλώσουμε τη φορά του διανύσματος με βάση τη θετική φορά που αυθαίρετα ορίσαμε και
§  έναν θετικό αριθμό που δηλώνει το μέτρο του διανύσματος.
Για να δούμε αν το διάνυσμα της δύναμης, που παριστάνεται πια από την αλγεβρική τιμήμεταβλήθηκε κοιτάμε το αν μεταβλήθηκε το πρόσημο ή ο αριθμός ή και τα δύο.
Για να δούμε αν τη δύναμη αυξήθηκε ή μειώθηκε κοιτάμε ΜΟΝΟ τι έκανε ο αριθμός, το πρόσημο εκφράζει τη φορά και η φορά μπορεί μεν να αλλάξει, αλλά η αλλαγή αυτή δε συμμετέχει στην αύξηση ή τη μείωση του μεγέθους!

Και ας δώσουμε και συγκεκριμένες αλγεβρικές τιμές για να είναι πιο χειροπιαστό:
ι) F1=-1N και F2=+3N :
το διάνυσμα της δύναμης μεταβλήθηκε γιατί άλλαξε και η φορά και το μέτρο... η δύναμη αυξήθηκε γιατί αυξήθηκε το μέτρο.
ιι) F1=-1N και F2=-3N :
το διάνυσμα της δύναμης μεταβλήθηκε γιατί άλλαξε το μέτρο... η δύναμη αυξήθηκε γιατί αυξήθηκε το μέτρο.

Μα η αλγεβρική τιμή είναι τώρα πιο μικρή!
Δεν κάνουμε μαθηματικά για να συγκρίνουμε τους αριθμούς -1 και -3...
Η δύναμη αυξήθηκε γιατί αυξήθηκε το μέτρο της!

Και τελειώνω με ένα ερώτημα στο οποίο θα δώσω και την απάντηση που πιστεύω ότι είναι η σωστή:

Είναι σωστό να αντιμετωπίζουμε τις αλγεβρικές τιμές διανύσματος καθορισμένης διεύθυνσης με τον ίδιο τρόπο που αντιμετωπίζουμε τις τιμές μονόμετρου μεγέθους, όπως πχ της θερμοκρασίας;

ΟΧΙ.

Όταν πχ η θερμοκρασία από -1οC γίνεται -3οC και θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε το ρήμα «αυξάνομαι» ή «μειώνομαι» θα πούμε ότι η θερμοκρασία μειώθηκε.
Όταν όμως η αλγεβρική τιμή πχ μιας δύναμης καθορισμένης διεύθυνσης από -1Ν γίνεται -3Ν και θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε και πάλι το ρήμα «αυξάνομαι» ή «μειώνομαι» πρέπει να πούμε ότι η δύναμη αυξήθηκε, γιατί αυξήθηκε το μέτρο της! Το πρόσημο της αλγεβρικής τιμής εκφράζει τη φορά της και είναι αυθαίρετα επιλεγμένο.